10 resultados matemáticos más geniales

10 resultados matemáticos más geniales

Muchas personas se desaniman por los oscuros símbolos y las estrictas reglas de las matemáticas, renunciando a un problema tan pronto como ven tanto los números como las letras involucradas. Pero si bien las matemáticas pueden ser densas y difíciles a veces, los resultados que puede probar a veces son hermosos, alucinantes o simplemente inesperados. Resultados como:

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El teorema de 4 colores

El teorema de 4 colores fue descubierto por primera vez en 1852 por un hombre llamado Francis Guthrie, que en ese momento estaba tratando de colorear en un mapa de todos los condados de Inglaterra (esto fue antes de que Internet fuera inventado, no había mucho para hacer). Descubrió algo interesante, solo necesitaba un máximo de cuatro colores para garantizar que ningún condado que compartiera un borde fuera coloreado de la misma manera. Guthrie se preguntó si esto era cierto o no para algún mapa, y la pregunta se convirtió en una curiosidad matemática que no se resolvió durante años.

En 1976 (más de un siglo después), este problema finalmente fue resuelto por Kenneth Appel y Wolfgang Haken. La prueba que encontraron era bastante compleja y se basaba en parte en una computadora, pero establece que en cualquier mapa político (digamos de los Estados) solo se necesitan cuatro colores para colorear cada estado individual para que ningún estado del mismo color esté en contacto.

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Teorema de punto fijo de Brouwer

Este teorema proviene de una rama de matemáticas conocida como topología, y fue descubierto por Luitzen Brouwer. Si bien su expresión técnica es bastante abstracta, tiene muchas implicaciones fascinantes del mundo real. Digamos que tenemos una foto (por ejemplo, la Mona Lisa) y tomamos una copia de ella. Entonces podemos hacer lo que queramos para esta copia, hacerla más grande, hacerlo más pequeño, rotarlo, arrugarse, cualquier cosa. El teorema del punto fijo de Brouwer dice que si ponemos esta copia superpuesta de nuestra imagen original, debe haber al menos un punto en la copia que es exactamente sobre el mismo punto en el original. Podría ser parte del ojo, oído o posible sonrisa de Mona, pero tiene que existir.

Esto también funciona en tres dimensiones: imagine que tenemos un vaso de agua, y tomamos una cuchara y lo revolvemos tanto como queramos. Por el teorema de Brouwer, habrá al menos una molécula de agua que está exactamente en el mismo lugar que antes de comenzar a agitar.


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Paradoja de Russell

Crédito de la foto: Lonpicman

A principios del siglo XX, una gran gente estaba fascinada por una nueva rama de matemáticas llamada teoría de set (que cubriremos un poco más adelante en esta lista). Básicamente, un conjunto es una colección de objetos. El pensamiento del tiempo era que cualquier cosa podría convertirse en un conjunto: el conjunto de todo tipo de frutas y el conjunto de todos los presidentes estadounidenses eran completamente válidos. Además, y esto es importante, los conjuntos pueden contener otros conjuntos (como el conjunto de todos los conjuntos en la oración anterior). En 1901, el famoso matemático Bertrand Russell causó un gran impacto cuando se dio cuenta de que esta forma de pensar tenía un defecto fatal: a saber, no se puede convertir nada en un set.

Russell decidió obtener meta sobre las cosas y describió un conjunto que contenía todos esos conjuntos que no se contienen. El conjunto de All Fruit no se contiene (el jurado todavía está disponible si contiene tomates), por lo que puede incluirse en el set de Russell, junto con muchos otros. Pero, ¿qué pasa con el set de Russell?? No se contiene a sí mismo, por lo que seguramente debe incluirse también. Pero espera ... ahora se contiene a sí mismo, así que naturalmente tenemos que sacarlo. Pero ahora tenemos que devolverlo ... y así sucesivamente. Esta paradoja lógica causó una reforma completa de la teoría de conjuntos, una de las ramas más importantes de las matemáticas en la actualidad.

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El último teorema de Fermat

Recuerda el teorema de Pitágoras de la escuela? Tiene que ver con los triángulos en ángulo recto, y dice que la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos es igual al cuadrado del lado más largo (x cuadrado + y cuadrado = z cuadrado). El teorema más famoso de Pierre de Fermat es que esta misma ecuación no es cierta si reemplaza el cuadrado con cualquier número mayor que 2 (no podría decir x cubierto +y cubierto = z en cubos, por ejemplo), siempre que x, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y z son números enteros positivos.

Como escribió el propio Fermat: “He descubierto una prueba realmente maravillosa de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener."Eso es realmente demasiado malo, porque mientras Fermat planteó este problema en 1637, no fue probado durante bastante tiempo. Y por un tiempo, quiero decir que fue probado en 1995 (358 años después) por un hombre llamado Andrew Wiles.


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El argumento del fin del mundo

Es una suposición justa que la mayoría de los lectores de este artículo son seres humanos. Siendo humanos, esta entrada será particularmente sensacionalista: las matemáticas se pueden usar para determinar cuándo nuestra especie se extinguirá. Usando probabilidad, de todos modos.

El argumento (que ha existido durante unos 30 años y ha sido descubierto y redescubierto varias veces) básicamente dice que el tiempo de la humanidad está casi actualizado. Una versión del argumento (atribuido al astrofísico J. Richard Gott) es sorprendentemente simple: si uno considera que la vida completa de la especie humana es un cronograma desde el nacimiento hasta la muerte, entonces podemos determinar en qué lugar en esa línea de tiempo ahora estamos.

Dado que en este momento es solo un punto aleatorio en nuestra existencia como especie, entonces podemos decir con una precisión del 95% que estamos dentro del 95% de la línea de tiempo, en algún lugar. Si decimos que en este momento somos exactamente 2.5% En la existencia humana, obtenemos la esperanza de vida más larga. Si decimos que somos 97.5% en la existencia humana, eso nos da la esperanza de vida más corta. Esto nos permite obtener un rango de la vida útil esperada de la raza humana. Según Gott, hay un 95% de posibilidades de que los seres humanos se extinguen en algún momento entre 5100 años y 7.8 millones de años a partir de ahora. Así que ahí tienes, la humanidad se pone en esa lista de deseos.

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Geometría no euclidiana

Otro poco de matemáticas que puede recordar de la escuela es la geometría, que es la parte de las matemáticas donde el punto fue el punto de garra. La geometría con la que la mayoría de nosotros estamos familiarizamos se llama geometría euclidiana, y se basa en cinco verdades o axiomas evidentes bastante simples. Es la geometría regular de líneas y puntos que podemos dibujar en una pizarra, y durante mucho tiempo se consideró la única forma en que la geometría podría funcionar.

El problema, sin embargo, es que las verdades evidentes que Euclid se describieron hace más de 2000 años no eran tan evidentes para todos. Hubo un axioma (conocido como el postulado paralelo) que nunca se sentó bien con los matemáticos, y durante siglos muchas personas intentaron reconciliarlo con los otros axiomas. A principios del siglo XVIII se probó un nuevo enfoque audaz: el quinto axioma simplemente se cambió a otra cosa. En lugar de destruir todo el sistema de geometría, se descubrió uno nuevo que ahora se llama geometría hiperbólica (o bolyai-lobachevskian). Esto causó un cambio de paradigma completo en la comunidad científica y abrió las puertas para muchos tipos diferentes de geometría no euclidiana. Uno de los tipos más destacados se llama geometría riemanniana, que se usa para describir nada menos que la teoría de la relatividad de Einstein (nuestro universo, curiosamente, no cumple con la geometría euclidiana!).


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Fórmula de Euler

La fórmula de Euler es uno de los resultados más poderosos de esta lista, y se debe a uno de los matemáticos más prolíficos que jamás haya vivido, Leonhard Euler. Publicó más de 800 artículos a lo largo de su vida de ellos mientras ciego.

Su resultado parece bastante simple a primera vista: E^(i*pi)+1 = 0. Para aquellos que no saben, tanto E como Pi son constantes matemáticas que aparecen en todo tipo de lugares inesperados, y representa la unidad imaginaria, un número que es igual a la raíz cuadrada de -1. Lo notable de la fórmula de Euler es cómo logra combinar cinco de los números más importantes en todas las matemáticas (e, i, pi, 0 y 1) en una ecuación tan elegante. El físico Richard Feynman ha llamado "la fórmula más notable en matemáticas", y su importancia radica en su capacidad para unificar múltiples aspectos de las matemáticas.

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Máquina universal de Turing

Vivimos en un mundo dominado por computadoras. Estás leyendo esta lista en una computadora ahora mismo! No hace falta decir que las computadoras son uno de los inventos más importantes del siglo XX, pero podría sorprenderle saber que las computadoras en su núcleo comienzan en el ámbito de las matemáticas teóricas.

Matemático (y también rompedor de código de la Segunda Guerra Mundial) Alan Turing desarrolló un objeto teórico llamado Turing Machine. Una máquina Turing es como una computadora muy básica: utiliza una cadena infinita de cinta y 3 símbolos (digamos 0, 1 y en blanco), y luego funciona con un conjunto de instrucciones. Las instrucciones podrían cambiar un 0 a un 1 y mover un espacio hacia la izquierda, o llenar un espacio en blanco y mover un espacio hacia la derecha (por ejemplo). De esta manera, se podría utilizar una máquina de turing para realizar cualquier función bien definida.

Turing luego describió una máquina de giro universal, que es una máquina de Turing que puede imitar cualquier máquina de Turing con cualquier entrada. Este es esencialmente el concepto de una computadora de programa almacenada. Usando nada más que matemáticas y lógica, Turing creó el campo de la ciencia informática años antes de que la tecnología fuera posible diseñar una computadora real.


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Diferentes niveles de infinito

Infinity ya es un concepto bastante difícil de comprender. Los humanos no fueron obligados a comprender los interminables, y por eso el infinito siempre ha sido tratado con precaución por los matemáticos. No fue sino hasta la segunda mitad del siglo XIX que Georg Cantor desarrolló la rama de las matemáticas conocida como teoría del set (recuerde la paradoja de Russell?), una teoría que le permitió reflexionar sobre la verdadera naturaleza del infinito. Y lo que encontró fue realmente alucinante.

Resulta que, cada vez que imaginamos el infinito, siempre hay un tipo diferente de infinito que es más grande que eso. El nivel más bajo de infinito es la cantidad de números enteros (1,2,3 ...), y es un infinito contable. Con un razonamiento muy elegante, Cantor determinó que hay otro nivel de infinito después de eso, el infinito de todos los números reales (1, 1.001, 4.1516 ... básicamente cualquier número que se te ocurra). Ese tipo de infinito es incontable, lo que significa que incluso si tuviera todo el tiempo en el universo, nunca podría enumerar todos los números reales en orden sin perderse algunos. Pero espera, como resulta que hay aún más niveles de infinito incontable después de eso. Cuántos? Un número infinito, por supuesto.

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Teoremas incompletos de Gödel

En 1931, el matemático austriaco Kurt Gödel demostró dos teoremas que sacudieron el mundo de las matemáticas hasta su núcleo, porque juntos mostraron algo bastante desalentador: las matemáticas no lo son, y nunca lo serán, completo.

Sin entrar en los detalles técnicos, Gödel demostró que en cualquier sistema formal (como un sistema de números naturales), hay ciertas declaraciones verdaderas sobre el sistema que no puede ser probado por el mismo sistema. Fundamentalmente, demostró que es imposible que un sistema axiomático sea completamente autónomo, lo que fue en contra de todos los supuestos matemáticos anteriores. Nunca habrá un sistema cerrado que contenga todos los sistemas solo de matemáticas que se hacen cada vez más grandes a medida que intentamos sin éxito completarlos.

A Michael Alba le gusta hacer bromas estúpidas en Twitter @MichaelPaulalba. Si lo sigues, él te comprará un cono de helado imaginario (chocolate imaginario o vainilla imaginaria solamente).